Формула свободи. Вибори

            П’янке слово свобода. Найвища цінність для багатьох людей, найвища цінність для деяких народів. До таких народів найперше належать русини-українці. Вся їх історія – відчайдушне прагнення до свободи. Нація козаків, нація вільних людей. Козак – уособлення вільної людини – мрія пересічних русинів-українців від давніх часів. Хмельниччина, Коліївщина, Махновщина, Атаманщина, війна УНР з Московією, війна ОУН-УПА з Московією, Помаранчева революція, Революція гідності, Війна на Донбасі. Хотілось би сказати, що жодний народ в світі не виявляв таких зривів в ім’я свободи, таких масових і тяглих у часі. Але це не відповідає дійсності. Є ще один народ, подібний до українського, - це поляки. Річ Посполита – фактично перша шляхетська республіка в Європі з виборним королем і повновладним парламентом – сеймом. Після третього поділу Речі Посполитої і практичного знищення польської державності все дев’ятнадцяте сторіччя поляки повставали проти Російської імперії з інтервалом у часі, необхідним для народження і досягнення зрілого віку наступного покоління. Повставали в ім’я свободи власного народу на відміну від русинів-українців, які найчастіше повставали заради волі, не пов’язуючи її з національним визволенням. Більшість русинів-українців найчастіше не розуміла, що лише через національне визволення, національну свободу можна говорити про свободу особистості. Можливо тому більшість українських зривів закінчувались поразками, у висліді яких особистої свободи ставало не більше, а менше. Так за результатами Хмельниччини у Русь-Україну прийшло кріпацтво ім’ям Російської імперії. Характерним прикладом для Русі-України є бій за Київ у січні 1918 року під залізничною станцією Крути, коли кілька сот необстріляних, але патріотично і романтично налаштованих юнаків, протистояли кілька тисячній більшовицькій банді. Ворога зупинити не вдалось, Київ довелося залишити. При цьому величезний, обстріляний на фронті контингент українізованого війська, що становив київський гарнізон, тримав нейтралітет, перебуваючи у неперервному п’яному угарі. Характерним прикладом для поляків є битва під Варшавою у 1920 році, коли новонароджена польська держава і вже доволі зріла польська нація розгромили величезну армію новітньої Московської імперії, і вберегли не лише власну свободу, але і свободу інших народів Західної Європи. Ця битва мала доленосне значення для новітньої історії світу і, в кінцевому висліді, для подальшої долі самого більшовизму.

            Глибоке та здавалось би неосяжне, ірраціональне слово свобода. Чи можна виміряти сутність цього прагнення, його реалізацію у повсякденному житті. Думаю можна, якщо звузити поняття свободи до таких її проявів, які, хоча і не вичерпують всіх її іпостасей, проте передають її дуже характерні і визначальні риси.  Людина у чистому полі: у її волі рухатись в одному з безлічі можливих напрямків. Її свобода вибору нескінчена. Людина у вузькому коридорі: у неї є лише мінімальний вибір напрямку руху: або вперед, або назад. Її свобода мінімально можлива. Людина у в’язниці, у маленькій тісній камері. У неї відсутня свобода. Отже на питання, чи можна формалізувати таку сутність як свобода, моя відповідь ствердна. Можна, якщо свободу розглядати лише як можливість вибору. Немає вибору – немає свободи. Є вибір – є свобода. Чим більший вибір, тим більша свобода. В різних ситуаціях можливість вибору, а отже і свобода вибору, у нас різна. Різна для різних людей, різна для різних народів, різна для різних країн. Будь-який вибір базується на порівнянні. Ми обираємо те, що у порівнянні з чимось іншим виглядає привабливішим. Отже, в основі свободи лежить можливість вибору, а вибір базується на порівнянні.

          Здавалося б при чому тут математика? А при тому, що закони математики, насправді, і є законами природи. Математика стверджує, що порівнювати можна лише дійсні числа. Тільки для пари дійсних чисел мають сенс операції порівняння «більше» або «менше». Про всі інші об’єкти математики звичайно можна сказати, що вони або рівні, або не рівні. Сказане стосується колосальної кількості різноманітних математичних об’єктів, інколи надзвичайно складної структури. Насправді і для таких об’єктів існую механізм повноцінного порівняння, але не стосовно об’єктів у цілому, а стосовно їх різноманітних числових (маються на увазі дійсні числа) характеристик. Наприклад, найскладнішим об’єктом природи є людина. Як порівняти між собою двох людей? А так: порівняємо окремо такі їх числові характеристики як зріст, вагу, вік, платню, нерухомість тощо. Чи можемо на основі такого порівняння зробити якісь глобальні висновки щодо цих двох людей? Безумовно ні. Але корисність такого порівняння в кожному конкретному випадку може бути надзвичайно високою.

          На наше глибоке переконання все в світі можна охарактеризувати дійсними числами. Ми або це вже зробили, або це робимо, або це обов’язково зробимо. Тепер ми вміємо вимірювати не тільки геометричні параметри різних конкретних об’єктів, але й такі абстрактні об’єкти, як інформація, точніше її кількість у повідомленні, або у сукупності повідомлень,  її невизначеність. Досі ми не вміли вимірювати інші абстрактні характеристики типу свободи, авторитаризму, демократії тощо. Проте приклад теорії інформації надихає на такі спроби. При цьому слід зазначити, що сама теорія інформації у своїх засадничих формулах не є оригінальною. Вона, фактично, базується на досягненнях статистичної фізики і навіть термодинаміки, на ключовому для цих наук понятті «ентропія». Так само вона використовує всі базові концепції і поняття теорії ймовірностей. Знаменита в теорії інформації формула Клода Шеннона для обчислення кількості інформації – це, фактично, один із варіантів відомої формули для  знаходження ентропії в статистичній фізиці.

          Отже прорив у розумінні навколишнього світу, а теорія інформація – це один із таких проривів, не обов’язково пов’язаний зі створенням нового математичного апарату, або нової фізичної концепції. Перш, ніж створювати нове, слід пошукати щось підходяще серед вже існуючого. Інколи потрібні речі виникли в математиці сотні років тому. Так диференційна геометрія була створена ще у вісімнадцятому сторіччі і вважалась доволі абстрактною наукою з незрозумілими перспективами. І раптом на основі саме цієї науки на початку двадцятого сторіччя, тобто аж за двісті років потому, виникла революційна для всієї фізики релятивістська теорія гравітації. При створенні математичної моделі свободи, як мені здається, не потрібно чекати двісті років. Досвід статистичної фізики і теорії ймовірностей був успішно використаний теорією інформації. Спробуємо й ми піти цим шляхом Найпростіша ситуація, де можна оцінити рівень свободи суспільства – це вибори в країні. Будемо вважати, що вибори відбулися чесно й з усіх N виборців за першого кандидата проголосували n₁ виборців, за другого – n₂ виборців, …, а за  останнього n_m - виборців (N = n₁ + n₂ + … + n_m). Якщо взяти довільного виборця щодо якого ми не знаємо як він проголосував, то цілком можна зробити припущення, що з ймовірністю p₁ = n₁/N він проголосує за першого кандидата, з ймовірністю p₂ = n₂/N - за другого, …, а з ймовірністю p_m = n_m/N - за останнього. Свободу прийняття рішення, яку він реалізовував би при кожному можливому акті голосування, доцільно виразити за допомогою логарифму від ймовірності, як це робиться в статистичній фізиці та теорії інформації. Логарифм – це єдина елементарна функція, що забезпечує властивість адитивності даної характеристики. Адитивність означає, що якщо голосування відбувається відразу з двох незалежних питань, то свобода прийняття рішення по сукупності цих двох питань дорівнює сумі свобод з кожного окремого питання. Отже у нашому випадку в кожному можливому акті голосування свобода визначатиметься так:              - log₂(p₁), - log₂(p₂),, …, - log₂(p_m),. Мінус перед знаком логарифму обирається для того, щоб свобода вимірювалась додатним числом, оскільки кожна з ймовірностей є числом меншим за одиницю, а логарифми таких чисел від’ємний. Логарифм береться за основою 2 лише з тою метою, щоб мінімальний акт свободи вибору характеризувався числом 1. Такому мінімальному акту відповідає ситуація, коли нам слід обрати одну з двох рівноправних кандидатур. Тоді p = 1/2, а - log₂(p) = -log₂(1/2) = 1. Так робиться в теорії інформації і така одиниця інформації називається бітом. У нашому випадку доцільнішим було б узяти за основу слово «свобода», або «freedom» англійською мовою. Початок останнього слова «freed» цілком міг би дати назву одиниці свободи. Кількісно оцінити все голосування в цілому, за всіма кандидатурами, можна було б взявши зважене середнє, або математичне очікування свободи, тобто всіх окремих актів свободи, виявлених при голосуванні за кожною окремою кандидатурою

S = - p₁ log₂(p₁) - p₂ log₂(p₂) - … - p_m log₂(p_m).

          Така величина в статистичній фізиці називається ентропією. Її базова назва в теорії інформації – інформаційна ентропія. Зрештою це і є знаменита формула Клода Шеннона. В перекладі на побутову мову цей термін в теорії інформації інтерпретують як кількість інформації, а часто як невизначеність інформації. До речі, згадка про статистичну фізику та термодинаміку тут цілком доречна, оскільки ентропія є мірою невпорядкованості або хаотичності фізичної системи, фактично, взаємної незалежності рухів її окремих структурних складових. Звідси ентропію називають ще мірою хаосу в системі. Яку базову назву слід було б запропонувати для цієї величини у задачі про вибори. Думаю, що – ентропія виборів. А в перекладі на побутову мову, як рівень свободи виборів. Далі ми побачимо, що числові значення рівня свободи виборів цілком відповідають нашим уявленням про різноманітні варіанти результатів виборів. Це свідчитиме на користь нашого тлумачення строгого терміну «ентропія виборів».

           Одночасно, як відомо з теорії інформації, інформаційна ентропія є мірою невизначеності або неочікуваності, фактично, мірою непередбачуваності стану системи чи події. У нашому випадку виборів в країні, ентропія свободи фактично визначає свободу прийняття рішення, яку довільний, знеособлений виборець реалізував би при кожному можливому акті його особистого голосування.

            А тепер спробуємо застосувати запропоновану формулу до останніх президентських виборів в Україні. Тут ми мали 39 кандидатів на посаду президента. Ймовірності голосувань за кожного з кандидатів є долями голосів, поданих за них. Загалом проголосували, не зіпсувавши бюлетень 18670254 виборців. За окремих кандидатів голосувала наступна кількість виборців (прізвища кандидатів не мають жодного сенсу): 38872; 27182; 33968; 2206216; 22564; 5503; 784274; 5433; 1306450; 4648; 19542; 8453; 5714034; 15965; 14532; 5869; 4494; 307244; 9243; 4508; 20014; 1036002; 13139; 43239; 2579; 5587; 3114; 15589; 3014609; 5230; 15118; 1141332; 5331; 2532452; 117693; 18918; 18667; 109078; 18482. Скажімо ймовірність голосування за першого кандидата буде такою: p₁=38872/18670254. Свобода голосування, обчислена за поданою вище формулою дорівнюватиме: S = 3.045 фріда. Про що говорить цей результат? Поки що ні про що, оскільки у нас немає можливості його порівнювати з якимось іншим результатом. Підрахуємо свободу вибору виборця на останніх президентських виборах в Московії. Там кандидатів було вісім. Вони отримали наступні відсотки голосів: 0.65%; 11.77%; 5.65%; 1.68%; 0.68%; 0.76%; 1.05%; 76.59%. Щоб перейти від відсотків до ймовірностей, відсотки просто слід поділити на сто. Використання попередньої формули у цьому разі дає наступний результат: S = 1.210 фріда. Тепер ми можемо порівняти свободу вибору на президентських виборах у Русі-Україні і Московії. Видно, що свобода виборів у Русі-Україні у два з половиною рази вища, ніж у Московії. Цей результат цілком очікуваний. Неочікуваним буде результат порівняння свободи президентських виборів у Русі-Україні і Сполучених штатах. На останніх виборах там, як і майже завжди, було лише два кандидати. Колегія виборщиків складалась з 306 осіб на користь одного кандидата і 232 осіб на користь іншого. Тут кожну з ймовірностей можна визначити, поділивши відповідну кількість виборщиків на їх загальну кількість. У цьому разі S = 0.986 фріда, тобто свобода виборів у Сполучених штатах здається навіть дещо меншою, ніж у Московії. Якщо врахувати, що в Сполучених штатах виборам передують праймеріз в кожній з провідних партій і в кожному з провідних штатів, то останній результат, як ми побачимо далі, зміниться при порівнянні з Московією на користь Сполучених штатів, але точні розрахунки тут виконати важко через брак детальної інформації.

          Спробуємо зрозуміти отримані результати з точки зору математики.  Припустимо, що ми маємо m рівноправних кандидатів. Рівноправність означає, що ймовірність довільного виборця проголосувати за довільного кандидата та сама для кожного кандидата. Тоді всі ймовірності рівні і кожна з них дорівнює 1/m. У цьому разі формула свободи матиме вигляд

S = log₂(m).

Ця формула також добре відома в теорії інформації і називається формулою Хартлі. Тобто свобода вибору прямує до нескінченості, якщо кількість рівноправних кандидатів також прямує до нескінченості. Ясно, що за інших рівних умов, на тих виборах більше свободи, де більша кількість претендентів однієї політичної вагової категорії. Русь-Україна тут поза конкуренцією в позитивному сенсі. Сполучені штати поза конкуренцією в негативному сенсі.

          Другий фактор, який слід взяти до уваги, це нерівномірність голосів, поданих за різних кандидатів. Чим більша ця нерівномірність, тим меншою є, реально, свобода вибору. У Русі-Україні на останніх виборах нерівномірність подання голосів була меншою, ніж в Московії, де нерівномірність присутня в найбільшій мірі і є настільки великою, що вже не здатна компенсувати доволі значну кількість претендентів.

          Максимальна можлива нерівномірність вибору – це, коли одна з ймовірностей дорівнює 1, а інші нулю. Це відповідає ситуації в колишньому Радянському Союзі. Там завжди на виборах був лише один кандидат. У цьому разі кожна з двох наведених вище формул дає один єдиний результат – нуль. Тобто свобода виборів у Радянському Союзі завжди дорівнювала нулю.

          Але країни, де кількість кандидатів на виборах дорівнює двом, в принципі не можуть мати рівень свободи виборів, що перевищує одиницю, і навряд можуть вважатися еталоном свободи.

           Подібний аналіз виборів можна провести в будь-якій країні, що дозволяє всі країни розташувати у певній послідовності щодо свободи вибору в них.

            Для перевірки, наскільки випадковими є отримані результати для Русі-України і Московії, проаналізуємо також останні парламентські вибори в цих країнах. За методикою, викладеною вище, свобода парламентських виборів у Русі-Україні дорівнює S = 2.922 фріда. Свобода парламентських виборів у Московії – S = 1.180 фріда. Звертає на себе увагу дивовижна близькість результатів парламентських і президентських виборів в Україні. Це свідчить про невипадковість отриманих результатів. Так само майже збігаються результати парламентських і президентських виборів у Московії.

            Цікаво також порівняти результати президентських і парламентських виборів у Русі-Україні у 2019 і 2014 роках. У 1914 році рівень свободи президентських виборів становив S = 2.408 фріда, тобто був дещо нижче, ніж у 2019 році. При цьому кількість кандидатів була значно меншою – лише 20. Політична ситуація в країні тоді була вкрай напруженою. Вибори у два тури були неприйнятною розкішшю. На Русь-Україну насувалась війна з Московією. Виборці це розуміли і переможець виборів тоді набрав голосів суттєво більше, ніж переможець виборів у 2019 році у першому турі. Тобто і фактор нерівномірності розподілу голосів спрацював на зменшення рівня свободи виборів. Але навіть попри дію цих двох факторів рівень свободи виборів у 2014 році був значно вищим, ніж, наприклад. на виборах 2004 року. Там він склав приблизно 2 фріда. Рівень свободи парламентських виборів у 2014 році становив S = 3.286 фріда. Це дещо більше, ніж у 2019 році. Після успішних президентських виборів напруження в країні зменшилось. Виборці змогли дозволити собі більшу свободу і це матеріалізувалось у найвищому рівні свободи парламентських виборів у новітній історії Русі-України. Рівень же свободи виборів президента був найвищим саме у 2019 році.

          Взагалі видається, що для русинів-українців, характерний безпрецедентно високий рівень свободи виборів. Таким є їх національний характер.

          Разом з тим, результати проаналізованих виборів у Русі-Україні і Московії радикально відрізняються. Я б сказав, що вони полярні. Така полярність результатів голосувань є яскравим свідченням глибинної відмінності менталітету русинів-українців і московитів. Вони ніколи не були одним народом, вони не є ним зараз і, сподіваюсь, ніколи ним не будуть.

          Полярність результатів президентських виборів у Русі-Україні і Московії стає ще більш очевидною, якщо врахувати, що у Русі-Україні останні президентські вибори відбувались у два тури (це доволі часто траплялось і у попередній історії незалежної Русі-України), а у Московії завжди один тур. У разі двох турів для рівня свободи виборів матимемо таку формулу

S = S₁ + S₂,

Де S₁ -  рівень свободи виборів у першому турі, S₂ -  рівень свободи виборів у другому турі. Вище вже наведена формула свободи виборів для першого туру. Додамо до неї відповідну формулу для другого туру

S₂ = - P₁log₂(P₁)- P₂log₂(P₂).

          Сума рівнів свободи виборів виникає як наслідок адитивності ентропії для двох незалежних підсистем, якими можна вважати перший і другий тур виборів, або як наслідок властивості логарифму і відповідної властивості математичного очікування. Так для другого туру президентських виборів у Русі-Україні у 2019 році P₁ = 0.7322, P₂ = 0.2445. Тоді S₂ = 0.826. Відповідно, ми отримаємо безпрецедентно високий результат для свободи виборів в Україні S = 3.871 фріда.

          Якщо праймеріз у Сполучених штатах вважати за перший тур президентських виборів, навіть у разі двох рівноправних кандидатів на них, насправді їх завжди більше, ми матимемо там в якості нижньої межі приблизно 2 фріда, що значно більше, ніж у Московії. Нагадаємо, що в Московії рівень свободи виборів на останніх президентських виборах становив  лише 1.210 фріда.

          Зауважимо, що оцінити вільність виборів можна лише за їх результатами. Саме результати виборів дають нам можливість знайти ймовірності голосувань за того, чи іншого кандидата. Правда, напередодні виборів у нас також є певна інформація про ці ймовірності. Її дають різноманітні соціологічні дослідження. Але що таке соціологічне дослідження? Це також вибори напередодні виборів, але за участю лише декількох тисяч опитаних виборців з існуючих багатьох мільйонів.

          Запропонований підхід до визначення свободи виборів є універсальним. Його практично можна застосувати у багатьох окремих сферах життя суспільства. На нашу думку, цей підхід можна застосувати і для оцінки свободи суспільства в цілому.

          Автор висловлює щиру подяку генерал-лейтенанту, професору Юрію Івановичу Радковцю, за корисні і стимулюючі обговорення та цінні зауваження.

Журнальна версія:  Завантажити entropiya_i_svoboda_vyboru_2019-konvertyrovan.pdf

Швець В. Т.